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数学における層（そう、, ）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの張り合わせ可能性によって定式化される。より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層（ぜんそう、）とよばれる。 == 定義 == === 前層 === (''X'', ''T'') を位相空間とする。''X'' の開集合 ''U'' ∈ ''T'' に対し集合 ''F''(''U'') を対応付けるとき、開集合の包含関係 ''U'' ⊂ ''V'' に応じて制限写像（せいげんしゃぞう、restriction map）と呼ばれる写像 : （ρ を ρ''U'',''V'' のように記すこともある）が定まって、次の条件 # # が成立する。そのとき集合と写像の族 ''F'' = を ''X'' を底空間といい、その集合に値を持つ写像の族を前層（または簡単に ''X'' 上の集合の前層）と呼ぶ。各開集合 ''U'' に対応付けられる ''F''(''U'') がどれも加群の構造を持ち、制限写像がどれも加群の準同型となっているならば ''X'' 上の加群の前層、同じく ''F''(''U'') がどれも環であって制限写像がどれも環準同型ならば ''X'' 上の環の前層、といったように ''F''(''U'') たちのもつ構造によって前層をクラスに分けることができる。 各開集合 ''U'' に対して ''F''(''U'') の元を前層 ''F'' の ''U'' 上の切断（せつだん、section）あるいは断面（だんめん）と呼ぶ。開集合の包含関係 ''U'' ⊂ ''V'' と ''V'' 上の切断 ''s'' ∈ ''F''(''V'') が与えられたとき、 : と記して、''s''|''U'' を切断 ''s'' の ''U'' への制限 (restriction) と呼ぶ。 圏論の言葉で言えば、''X'' の開集合系（これは包含関係に関する順序集合となる） ''T'' を圏と見なすとき、''X'' 上の前層とは ''T'' から集合の圏への反変関手のことであるということができる。また、可換群の（あるいは加群の）前層や環の前層は ''T'' から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、同様にして ''T'' から適当な圏 ''C'' への反変関手として ''C'' に値を持つ前層が定義される。二つの前層を関手と見なして、その間の自然変換となるものを前層の射または前層の準同型とよぶ。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「層 (数学)」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Sheaf (mathematics) 」があります。 スポンサード リンク
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